Động học

Biểu diễn tham số của đường tròn đơn vị:
Đỏ: x = cos ⁡ t ;   y = sin ⁡ t {\displaystyle x=\cos t;\ y=\sin t}
Xanh: x = 1 − τ 2 1 + τ 2 ;   y = 2 τ 1 + τ 2 {\displaystyle x={\tfrac {1-\tau ^{2}}{1+\tau ^{2}}};\ y={\tfrac {2\tau }{1+\tau ^{2}}}}
Cả hai cách đều thỏa mãn phương trình đường tròn x 2 + y 2 = 1. {\displaystyle x^{2}+y^{2}=1.}

Trong động học, quỹ đạo của vật trong không gian thường được miêu tả như là đường cong tham số hóa, với mỗi tọa độ không gian phụ thuộc tường minh vào một tham số độc lập (thường là thời gian). Sử dụng theo cách này, hệ phương trình tham số cho tọa độ của đối tượng làm thành hàm trị vectơ cho vị trí. Từ các đường cong tham số hóa này có thể thực hiện tích phân và vi phân theo tham số độc lập. Do đó, nếu vị trí của một hạt được miêu tả theo tham số

r ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) {\displaystyle \mathbf {r} (t)=(x(t),y(t),z(t))}

thì vận tốc của nó bằng

v ( t ) = r ′ ( t ) = ( x ′ ( t ) , y ′ ( t ) , z ′ ( t ) ) {\displaystyle \mathbf {v} (t)=\mathbf {r} '(t)=(x'(t),y'(t),z'(t))}

và gia tốc tìm được

a ( t ) = r ″ ( t ) = ( x ″ ( t ) , y ″ ( t ) , z ″ ( t ) ) {\displaystyle \mathbf {a} (t)=\mathbf {r} ''(t)=(x''(t),y''(t),z''(t))} .

Thiết kế hỗ trợ bởi máy tính

Một ứng dụng quan trọng khác của phương trình tham số đó là được áp dụng trong thiết kế hỗ trợ bởi máy tính (CAD).[5] Ví dụ, xét ba biểu diễn sau đây của các đường cong phẳng.

Loại	Dạng	Ví dụ	Miêu tả
1. Tường minh	y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)\,\!}	y = m x + b {\displaystyle y=mx+b\,\!}	Đường thẳng
2. Hàm ẩn	f ( x , y ) = 0 {\displaystyle f(x,y)=0\,\!}	( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 {\displaystyle \left(x-a\right)^{2}+\left(y-b\right)^{2}=r^{2}}	Đường tròn
3. Tham số	x = g ( t ) w ( t ) {\displaystyle x={\frac {g(t)}{w(t)}}} ; y = h ( t ) w ( t ) {\displaystyle y={\frac {h(t)}{w(t)}}}	x = a 0 + a 1 t ; {\displaystyle x=a_{0}+a_{1}t;\,\!} y = b 0 + b 1 t {\displaystyle y=b_{0}+b_{1}t\,\!} x = a + r cos ⁡ t ; {\displaystyle x=a+r\,\cos t;\,\!} y = b + r sin ⁡ t {\displaystyle y=b+r\,\sin t\,\!}	Đường thẳng Đường tròn

Hai loại đầu tiên được gọi là loại biểu diễn giải tích, hay không có tham số, của các đường cong; khi so sánh với cách biểu diễn tham số được ứng dụng trong các chương trình CAD, các cách biểu diễn giải tích có những nhược điểm của chúng. Đặc biệt, những cách biểu diễn không có tham số phụ thuộc vào lựa chọn hệ tọa độ và không thể hiện được hết tính chất của đối tượng qua các phép biến đổi hình học, như phép quay, tịnh tiến, và phóng to thu nhỏ; do vậy cách biểu diễn giải tích khiến cho khó phát sinh tạo điểm trên đường cong. Các vấn đề này có thể khắc phục được bằng cách viết các phương trình dưới dạng tham số.[6]

Các hình có độ dài cạnh là số nguyên

Nhiều bài toán trong tìm các hình có độ dài cạnh là số nguyên (tam giác nguyên) có thể đưa ra lời giải bằng phương trình tham số. Một ví dụ đó là tham số hóa Euclid của tam giác vuông sao cho độ dài các cạnh bên của nó a, b và cạnh huyền c là các số nguyên tố cùng nhau. Vì a và b không thể đồng thời là số chẵn (bằng không a, b và c không thể nguyên tố cùng nhau), ta có thể coi a là số chẵn, và viết các cạnh dưới dạng tham số như sau

a = 2 m n ,     b = m 2 − n 2 ,     c = m 2 + n 2 , {\displaystyle a=2mn,\ \ b=m^{2}-n^{2},\ \ c=m^{2}+n^{2},}

trong đó các tham số m và n là những số nguyên dương nguyên tố cùng nhau và không đồng thời là số lẻ.

Bằng cách nhân a, b và c với một số nguyên dương bất kỳ, có thể thu được dạng tham số hóa của mọi tam giác vuông mà ba cạnh đều có độ dài là các số tự nhiên.